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Todos los temas aquí tratados han sido tomados de internet con fines educativos.
Recopilador León Botero
El contenido de esta página es el siguiente:
Jueves 8 de Enero/2015
Fuente: http://academiamexicanadeajedrez.blogspot.com/2008/09/geometra-y-espacio-en-el-ajedrez.html
Noviembre/24/2014
Agosto 27/2014
A continucación encuentran unos link que los llevara a dos muy buenos articulos sobre las matemáticas y el ajedrez. Considero que todo entrenador de ajedrezy/o docente debe leerlos, su nivel de comprensión es elemental.
MATEMÁTICAS Y AJEDREZ
EL AJEDREZ Y LA NUEVA TEORÍA DE LA INTELIGENCIA
Agosto 18/2014
Todos los temas aquí tratados han sido tomados de internet con fines educativos.
Recopilador León Botero
El contenido de esta página es el siguiente:
- Geometría y espacio en el ajedrez
- ajedrez y matemáticas
- Matemáticas y ajedrez
- El ajedrez y la nueva teoría de la inteligencia
- El "problema del caballo"
- Situaciones matemáticas sobre un tablero de ajedrez
- Porque deberias jugar ajedrez
- Ajedez y matemáticas peleados por un principio (vídeo)
Jueves 8 de Enero/2015
GEOMETRÍA Y ESPACIO EN EL AJEDREZ
La geometría es una rama de las matemáticas que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías). La geometría se inicia en el Antiguo Egipto. La geometría clásica se encarga de estudiar construcciones utilizando regla y compás.
Posteriormente, comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos. La barrera entre el álgebra y la geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen, en el cual se define a la geometría como el estudio de las invariantes de un conjunto mediante transformaciones. La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores, para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.
Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos). Esto significa que en adelante, las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo tradicional. Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado: si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera: y un plano es entendido como el conjunto: es posible ver que todos los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo. En geometría sintética, los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, definidos en función al punto, la recta y el plano. Se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función al punto; no tiene sentido hablar de recta o plano. Puede definir cualquier función llámese recta, circunferencia, cuadrado de la circunferencia, planos, entre otros. Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más). Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todos los tipos de geometría (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A aquella que une las definiciones, los axiomas, los teoremas y su uso se llama geometría absoluta o geometría neutral.
Fuente: http://academiamexicanadeajedrez.blogspot.com/2008/09/geometra-y-espacio-en-el-ajedrez.html
Noviembre/24/2014
Ajedrez y Matemática
"Las matemáticas comparan los mas diversos fenómenos
y descubren las analogías secretas que los unen."
Joseph Fourier (1768-1830)
¿Cuál es el origen del ajedrez? Como dijimos antes, no se sabe con certeza cual es su origen. En [25] se dan algunas de las leyendas que lo han motivado, sin embargo la más conocida de ellas [24] es la del rey que ofrece, al que inventara un juego que le agradace, todo lo que este quisiese. El inventor le dijo a su Rey que, como forma de pago, el quería tener suficiente trigo como para poner en la primer casilla un grano, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente, duplicando la cantidad de la casilla anterior hasta llegar al último de los escaques. El Rey ordenó inmediatamente que se hiciera el pago, llamó al matemático de la corte para que calculara el número de granos que debía entregar y este después de hacer algunos cálculos le dijo a su Rey: "Su Majestad, el número total de granos es:5
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 264 = 265 - 1
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y en todo el reino no hay suficiente trigo ni lo habrá con muchos siglos de cosechas, para satisfacer el pago". Este es un número de veinte dígitos en el sistema decimal y para efectuar el pago el Rey debería llenar de trigo un cubo con 7 kilómetros de arista.
La parte poco conocida de la leyenda es la forma en que el matemático, viendo en problemas de honor a su Rey, le salvo de esta situación. Él le propuso al inventor que le pagarían lo que el pedía pero además lo que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. El inventor aceptó esta nueva forma de pago ya que sin duda obtendría una mayor cantidad de trigo, pero cuando hicieron los cálculos para ver la cantidad T de granos, se obtuvo que:
| T | = | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... | |
| T | = | 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... ) | |
| T | = | 1 + 2T |
y resolviendo la última ecuación obtenemos que T = - 1, es decir el inventor le quedaba debiendo un grano de trigo al Rey!. Puede usted dar una explicación a esto?
Esta leyenda pone de manifiesto que desde sus inicios las matemáticas y el ajedrez estan relacionadas, esto lo vemos en múltiples ocasiones en la literatura, por ejemplo encontramos Reconstrucción y Probabilidad en [5], Geometría en [13], Álgebra Lineal en [15], Teoría de Números, Estadística, Álgebra y mucho más en [1]. Además se hacen competencias internacionales de resolución de problemas matemáticos en el ajedrez.
Se ha preguntado de cuántos movimientos es la partida más larga posible6 o cuántas partidas distintas de ajedrez existen, sin analizar su calidad. Preguntas como estas han provocado gran discusión desde inicios de siglo, la aparición de los ordenadores o computadoras han ayudado a responderlas. La partida más larga posible es de 5899 movimientos y 1018900 es la cantidad de partidas diferentes [1, p. 18].
A pesar de que son números extraordinariamente grandes, algunos ajedrecistas han optado por sugerir ligeros cambios a las reglas que conocemos, esto con el fin de poner a prueba a la mente humana y porque no a las computadoras. El cubano y campeón mundial José Raúl Capablanca, sugería cambiar el tablero de 8×8 por uno de 10×10, otros intercambiar de posición el alfil y el caballo, pero de los que más aceptación han tenido es el denominado ajedrez CIRCE7, en donde las piezas que son comidas se colocan en su casilla de origen, es decir las piezas no desaparecen del tablero, en esta modalidad las posibilidades de movimiento se incrementan demasiado y la solución de problemas se convierte en un verdadero dolor de cabeza. Desde sus origenes ya el ajedrez ha sufrido cambios, el enroque, el peón al paso, los movimientos del alfil y de la dama entre otros. Particularmente creo que más cambios como estos se harán tarde o temprano, porque el ajedrez como arte que es [13], al igual que la música y la pintura, va creciendo y madurando.
Grandes matemáticos como Georg Pólya, Lindelöf, Carl Gauss, L. Euler, Landau y Donald E. Knuth (creador del TEX), entre otros, se han interesado por problemas matemáticos en el ajedrez. Un problema que ha motivado muchos estudios es el de encontrar la mínima cantidad de piezas del mismo tipo, de manera que cubran todo el tablero, o el de el número máximo de piezas del mismo tipo que se pueden colocar sin que se protejan entre ellas, estos en un tablero de 8×8 ó de otro tamaño. Probablemente, usted como aficionado alguna vez ha tratado de resolver este problema para el caso de colocar 8 damas en el tablero sin que se protejan entre ellas y ha encontrado alguna de las 92 soluciones. El gran matemático alemán Carl F. Gauss, el genio más grande de la era moderna, se interesó por el "problema de las 8 damas" y descubrió solamente 72. Todas estas soluciones se obtienen de 12 ubicaciones básicas, por rotaciones y reflexiones.
Leonard Euler, el más prolífico y gran matemático suizo del siglo pasado se planteó y resolvió el "problema del movimiento del caballo" que dice así: andar con el caballo por todas las casillas del tablero sin estar dos veces en ninguna de ellas. Otro problema que ha apasionado a matemáticos y no matemáticos, es la construcción de los cuadrados mágicos8 de orden n. Pues bien, Euler logró dar una solución simultánea a ambos problemas, Figura 3, en donde cada fila y cada columna suma 260, cada fila y columna de cada uno de los cuatro subcuadrados de orden 4 sumaba 130 y tal que en este "tablero mágico" de orden 8 se describe la ruta del movimiento del caballo por todo el tablero.
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Figura 3: Tablero mágico: solución al problema del movimiento del caballo.
Otro problema, bastante sencillo pero interesante, conocido como el "del rey intangible" dice: puede la dama blanca en ayuda de su rey, que tiene prohibido moverse, dar mate al rey enemigo solitario?. Muchos ajedrecistas dijeron que no, pero el matemático Landau descubrió que se puede si el rey blanco intangible está ubicado en una de las casillas c3, c6, f3 ó f6 con la dama blanca y el rey negro en cualquier casilla, en no más de 23 movimientos. Un problema que atrajo la atención es el de encontrar el recorrido máximo del caballo en un tablero de n×n sin que estos se crucen, Knuth encontró que hay dos en el tablero de orden 3, cinco en el de orden 4, cuatro en el de 5, uno en el de 6, catorce en el de 7, y cuatro en el de 8, en la Figura 4 se muestra el recorrido máximo y único en el tablero de 6×6, que es de 17 movimientos.
Figura 4: Recorrido máximo del caballo en el tablero de 6×6.
Usted probablemente conoce un juego geométrico, conocido como Tangrama, que ayuda a formar miles de figuras a partir de cinco triángulos, un cuadrado y un trapezoide, consulte [29]. El interés de este trabajo no es adentrarse en este juego, sin embargo, le dejamos como ejercicio el formar las piezas del ajedrez: peón, caballo, alfil, torre, dama y rey, [19].
El matemático inglés Stephen J. Turner dijo: "Quien solo haya hecho ejercicios de matemáticas sin haber resuelto ningún problema, es igual a quien sabe mover las piezas del ajedrez sin haber jugado nunca un verdadero juego; lo real en matemáticas es participar en el juego". Y no es de extrañar que grandes matemáticos hallan sido grandes ajedrecistas, Adolf Anderssen fue profesor de matemática y campeón del mundo sin corona, Wilhelm Steinitz fue distinguido estudiante de matemática y campeón 1986 a 1904, Emanuel Lasker campeón de 1904 a 1921 y Max Euwe campeón de 1935 a 1937 ambos Doctores en Matemática, Mikhail Botvinnik y muchos más fueron ingenieros con buena formación en matemática y más recientemente vemos a J. Nunn, J. Speelmann y E. Guik entre otros.
Así mismo en la Olimpíada Costarricense de Matemática del año 1996, cuatro ajedrecistas tuvieron una brillante participación; Fabián Carballo y David Rodríguez con medalla de bronce, Gustavo Madrigal medalla de plata y Mauricio Chicas medalla de oro.
El ajedrez ha sido una fuente de problemas matemáticos, por ejemplo, en la Olimpíada Húngara de Matemática del año 1926 se planteó el siguiente problema: "Pruebe que, si a y b son enteros dados, el sistema de ecuaciones
| x + y + 2z + 2t | = | a | |
| 2x - 2y + z - t | = | b |
tiene soluciones enteras para x, y, z y t". Con un poco de ayuda del álgebra se obtienen las soluciones x = a-b, y = -b, z=-a+b y t = a, que se pueden verificar por simple sustitución, los detalles de esta solución se pueden ver en [15]. Más que la solución, nos interesa ver de donde nace este problema. Suponga que se tiene un tablero infinito de ajedrez, como el del desesperado Rey, sobre este tablero sobreponemos un plano cartesiano de manera que cada par ordenado (a, b), con a y b enteros, se encuentre en el centro de cada escaque. Si llamamos a (0, 0) como el origen del sistema podemos ver que los 8 movimientos posibles del caballo, a partir del origen, se pueden representar por:
| u1 = (1, 2) | u2 = (1, - 2) | u3 = (2, 1) | u4 = (2, - 1) |
| - u1 = (- 1, - 2) | - u2 = (- 1, 2) | - u3 = (- 2, - 1) | - u4 = (- 2, 1) |
ui y - ui son opuestos en el sentido de que si movemos y retrocedemos, llegamos de nuevo al origen. En este sentido, efectuar x veces el movimiento u1 se representa por (x, 2x), efectuar y veces el movimiento u2 se representa por (y, - 2y), efectuar z veces el movimiento u3 se representa por (2z, z) y efectuar t veces el movimiento u4 se representa por (2t, - t), así al efectuar todos los movimientos juntos se obtiene de la suma vectorial y se puede representar como(x + y + 2z + 2t, 2x - 2y + z - t) y las soluciones del sistema de ecuaciones, describen los movimientos para llegar con el caballo al escaque (a, b), es decir se prueba que el caballo puede visitar todas las casillas del tablero y da su recorrido.
Muy interesante es la comparación que hace Perero en [24]: "La matemática, como un sistema puramente formal, se puede comparar con el ajedrez, los elementos primitivos en ajedrez son las 32 piezas y el tablero; los axiomas son las descripciones de los movimientos de las piezas, no son evidentes, no son ni verdaderos ni falsos, son así y se aceptan sin discutir, las reglas del juego constituyen la lógica del sistema. Nadie se pregunta si el ajedrez es verdadero o falso, lo único importante es saber si se siguen las reglas".
este texto fue tomado de la revista Revista Matemáticas, Educación e Internet. Puedes leer las demás páginas de la revista dando clic en lso siguientes links
Agosto 27/2014
A continucación encuentran unos link que los llevara a dos muy buenos articulos sobre las matemáticas y el ajedrez. Considero que todo entrenador de ajedrezy/o docente debe leerlos, su nivel de comprensión es elemental.
MATEMÁTICAS Y AJEDREZ
EL AJEDREZ Y LA NUEVA TEORÍA DE LA INTELIGENCIA
Agosto 18/2014
EL "PROBLEMA DEL CABALLO"
UN ENIGMA MATEMÁTICO SIN RESOLVER
El llamado ¿Problema del caballo? es un antiguo problema matemático
relacionado con el ajedrez. Consiste en encontrar una secuencia de movimientos
-válidos- de esta pieza para que recorra todas las casillas del tablero,
visitando cada una solo una vez. Verdaderos ejércitos de matemáticos han
encarado este problema, pero sigue sin conocerse el numero exacto de soluciones
que existe. El problema ha sido planteado para tableros de diferentes tamaños y
distintas condiciones iniciales, y sigue siendo tan atractivo como hace 1.200
años.
A lo largo de los siglos, los matemáticos han utilizado el tablero
y piezas del juego de ajedrez para plantear miles de acertijos, muchos de los
cuales presentan semejante nivel de complejidad, que no han logrado ser
resueltos ni siquiera abordándolos con los superordenadores más potentes. El
denominado ?problema del caballo? es uno de los desafíos que involucran
elementos del ajedrez más simples de enunciar pero más difícil de resolver.
El reto consiste en poner un
caballo en una de las casillas de un tablero de ajedrez vacío, y -respetando los
movimientos válidos para esta pieza- recorrer cada uno de los casilleros sin
pasar dos veces por el mismo, volviendo (o no) a la posición de partida.
Si bien existen varios recorridos probados que satisfacen las condiciones
enunciadas, lo cierto es que a pesar del esfuerzo de muchos matemáticos no se
conoce con exactitud la cantidad de soluciones posibles para el problema del
caballo.
Una de las primeras soluciones conocidas data del siglo IX. En
efecto, en un manuscrito del árabe Abu Zakariya Yahya ben Ibrahim
al-Hakim se encuentran documentados dos recorridos válidos. Uno de ellos
pertenece a un jugador de ajedrez llamado Ali C. Mani y el otro a
Al-Adli ar-Rumi, un
aficionado del que se sabe también escribió un libro sobre una forma de ajedrez
popular por esa época llamado ?Shatranj?.
A lo largo de los siglos, el problema del caballo fue
modificándose, dando lugar a distintas variantes. Por ejemplo, pueden utilizarse
tableros de dimensiones diferentes a las 8x8 casillas tradicionales, o
permitirse que la casilla de llegada no coincida con la de salida.
Esta última variante facilita un tanto las cosas, y aumenta aun más
la cantidad de soluciones posibles. Cuando el caballo debe llegar a la misma
casilla de la que salió, se dice que el recorrido que efectúa es ?cerrado?.
As-Suli, otro árabe
mestro de Shatranj, que basó su análisis en los trabajos anteriores de Al-Adli,
encontró allá por el año 900 de nuestra era dos recorridos recorridos
cerrados.
20 ordenadores pensando
El primer estudio matemático importante sobre este problema se cree
es el que efectuó el genial el matemático Leonhard Euler (1707?1783), quien
presentó su trabajo a la Academia de las Ciencias de Berlín en 1759. En realidad
Euler, una figura reconocida que publicó más de mil trabajos y libros brillantes
durante su vida, sabía que la Academia ofrecía un premio de 4.000 francos a
aquel que pudiese arrojar algo de luz al problema del caballo. Si bien se
conocían muchas soluciones, nadie había logrado estimar el numero de ellas que
existían ni un algoritmo que permitiese generarlas sin dificultad.
Los que habían abordado el problema sabían que encontrar una
solución simplemente moviendo el caballo ?al tanteo? era prácticamente
imposible, pero tampoco eran capaces de encontrar un método que facilitase el
proceso. Así las cosas, Euler encaró el problema y encontró que existían varios
recorridos cerrados que ofrecían la ventaja de permitir comenzar por una casilla
cualquiera del tablero y completar el recorrido a partir de ella.
Lamentablemente, en el momento en que publicó su trabajo, Euler era
Director de Matemáticas de la Academia de Berlín, por lo que por una cuestión
ética no pudo cobrar el premio.
Hoy sabemos que el numero de recorridos posible es realmente muy
grande. A pesar de haberse utilizado los más grandes ordenadores disponibles
para buscar todas las formas en que el caballo puede recorrer el tablero, no
estamos seguros de que los valores hallados sean correctos. Hace 15 años, en
1995, Martin Löbbing e Ingo Wegener pusieron a trabajar 20 ordenadores Sun
-potentes para la época- durante cuatro meses y publicaron un documento en el
que proclamaban que el
número de recorridos posibles en un tablero de 8x8 era
33.439.123.484.294.
Dos años más tarde, en 1997, Brendan McKay encaró el problema del
caballo dividiendo el tablero en dos mitades y llego a un resultado algo menor:
¿sólo? existirían
13.267.364.410.532 recorridos posibles. Para tener una idea de lo que
significan estos números, basta saber que si un robot fuese capaz de mover el
caballo para que complete un recorrido por segundo, demoraría más de 420 años en
probarlos a todos.
¿Que utilidad tiene para un jugador de ajedrez conocer estos
recorridos? Muy poca. Pero esta clase de desafíos han impulsado a muchos
aficionados o matemáticos a encarar problemas que finalmente suelen tener alguna aplicación
práctica a la hora de encontrar rutas óptimas que pasen por un determinado
número de lugares o que permitan -por ejemplo- ahorrar tiempo o
combustible. Como sea, el Problema del caballo ha logrado mantener interesados a
los matemáticos durante siglos, y todo parece indicar que lo seguirá haciendo
durante mucho tiempo.
Fuente: www.abc.es
Agosto 8/2014
SITUACIONES MATEMATICAS SOBRE
UN TABLERO DE AJEDREZ
(con soluciones)
(con soluciones)
Sobre el nacimiento
del ajedrez hay muchas versiones; una de ellas, la más aceptada, dice que el
juego de ajedrez fue inventado en la
India alrededor del siglo VI d.C. Se le conocía como "el
juego del ejército" o "Chaturanga" y podía jugarse con dos o con
cuatro jugadores. Gracias a los viajes de los mercaderes y los comerciantes el
juego llegó primero a Persia y después fue conocido en toda Asia. Más adelante
los árabes estudiaron a profundidad el juego y se dieron cuenta que estaba muy
relacionado con las matemáticas, escribieron varios tratados sobre él y
aparentemente fueron los primeros en formalizarlo y en escribir sus reglas.
Entre los años 800
y 900 d.C. el ajedrez se conoció en Europa. Primero llegó a España, con la
conquista de los árabes y posteriormente, otra vez gracias a las rutas
comerciales, se fue conociendo en los demás países de ese continente. También
se sabe que por esa misma época los vikingos lo jugaban pues en los restos de
una tumba vikinga fue encontrado un tablero de ajedrez con algunas piezas.
En Europa, durante
la edad media, los países donde más se jugó ajedrez fueron España e Italia. Se
jugaba de acuerdo con las reglas árabes (descritas en diversos tratados de los
que fue traductor y adaptador Alfonso X el Sabio), según las cuales la reina y
el alfil eran piezas débiles que sólo podían avanzar de una en una las
casillas. Durante los siglos XVI y XVII el ajedrez tuvo un importante cambio: se
escribieron y publicaron las reglas que hoy se usan, las piezas adquirieron la
forma que tienen actualmente, la reina se convirtió en la pieza más poderosa y
pudo moverse tal y como lo hace hoy en día, por cualquier fila o por cualquier
diagonal del tablero. Fue entonces cuando se permitió a los peones avanzar dos
casillas en su primer movimiento y se introdujo la regla conocida como "al
paso", que permite capturar el peón que sigue su marcha y no come la ficha
que se le ha ofrecido por una determinada estrategia. Fue también en esa época
cuando se inventó el enroque. Los jugadores italianos se convirtieron en los
mejores jugadores del mundo, hasta que en el siglo XVIII fueron desbancados por
los franceses y los ingleses, cuando el ajedrez, que había sido hasta entonces
el juego predilecto de la nobleza y la aristocracia, pasó a los cafés y las
universidades. El nivel del juego mejoró entonces de manera notable. Comenzaron
a organizarse partidas y torneos internacionales y los jugadores más destacados
crearon sus propias escuelas.
Sobre este juego
existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es la siguiente:
Es la del rey que ofrece, al que inventara un juego que le agradara, todo lo
que este quisiese. El inventor le dijo a su Rey que, como forma de pago, el
quería tener suficiente trigo como para poner en la primer casilla un grano,
dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente,
duplicando la cantidad de la casilla anterior hasta llegar al último de los escaques.
El Rey ordenó inmediatamente que se hiciera el pago, llamó al matemático de la
corte para que calculara el número de granos que debía entregar y este después
de hacer algunos cálculos le dijo a su Rey: "Su Majestad, el número total
de granos es:
1 + 2 + 22
+ 23 + ... + 264 = 265 – 1
y en todo el reino no hay suficiente
trigo ni lo habrá con muchos siglos de cosechas, para satisfacer el pago".
Este es un número de veinte dígitos en el sistema decimal y para efectuar el
pago el Rey debería llenar de trigo un cubo con 7 kilómetros de
arista.
La parte poco
conocida de la leyenda es la forma en que el matemático, viendo en problemas de
honor a su Rey, le salvo de esta situación. Él le propuso al inventor que le
pagarían lo que el pedía pero además lo que se obtuviera de agregar sin fin,
más y más casillas al tablero. El inventor aceptó esta nueva forma de pago ya
que sin duda obtendría una mayor cantidad de trigo, pero cuando hicieron los
cálculos para ver la cantidad T
de granos, se obtuvo que:
T = 1 + 2 +
4 + 8 + 16 + ….
T = 1 + 2(1
+ 2 + 4 + 8 + 16 + ….)
T = 1 + 2T
y resolviendo la última ecuación
obtenemos que T = ─ 1, es decir el inventor le quedaba debiendo un grano
de trigo al Rey!. ¿Podéis dar una explicación a esto?
Esta leyenda pone
de manifiesto que desde sus inicios las matemáticas y el ajedrez están
relacionadas.
El ajedrez es una fuente de problemas muy interesantes. Con todas las
fichas y todo el tablero, o sólo con algunas de ellas se pueden plantear situaciones que permiten
practicar estrategias de resolución de problemas. También es de interés el
conocer las notaciones de las posiciones iniciales de las fichas y de las
jugadas, que se pueden utilizar como referencia en el estudio de estrategias
ganadoras de juegos de tablero, y en general, en la asignación de coordenadas
en un plano.
Pero
vamos a empezar con tres juegos.
Actividad 1: Para
empezar a jugar en el primero necesitáis el tablero de ajedrez y muchas fichas
de dominó (cada una del tamaño de dos cuadros del tablero de ajedrez). Lo
primero que debéis hacer es tapar (con una moneda, una chapa... ¡algo!) dos
esquinas opuestas del tablero, y luego intentar cubrir el resto del tablero con
las fichas del dominó. Como no tenemos fichas de dominó en los dibujos de los
tableros tachamos las dos esquinas blancas y luego para simular la colocación
de una ficha de dominó tachamos dos casillas contiguas (una de cada color). Lo
intentamos en un tablero 4x4.
Actividad 2: El siguiente juego se le
conoce como La amenaza fantasma que
no tiene nada que ver con la película de la guerra de las galaxias. En el tablero, las letras J, K, L, M y
N representan un rey, una dama, una torre, un alfil y un caballo de ajedrez
aunque no necesariamente en ese orden. Los números indican cuántas de esas
piezas amenazan esa casilla. Se trata de descubrir qué pieza representa cada
letra.
Problemas V y VI
Como antes sobre un tablero se han colocado cinco
piezas de ajedrez: Un rey, una dama, una torre, un alfil y un caballo, pero
esta vez, la amenaza es tan fantasma que ni siquiera decimos donde. Solo se ven unos números que
indican la cantidad de piezas que atacan esa casilla..Indicar para cada tablero
la ubicación de las cinco piezas (utilizar las coordenadas fila/columna para
ello)
Estos
juegos en realidad eran una especie de solitario. El siguiente juego que te proponemos a continuación es para
jugarlo entre dos.
Actividad 3: El juego es muy simple: los
jugadores van colocando fichas de dominó sobre el tablero, el primero que no
puede poner ninguna ficha pierde. Intenta encontrar una estrategia ganadora,
para cada uno de los jugadores. También lo intentamos en un tablero 4x4
Actividad
4:
Un problema que ha motivado muchos estudios es el de encontrar la mínima
cantidad de piezas del mismo tipo, de manera que cubran todo el tablero, o el
de el número máximo de piezas del mismo tipo que se pueden colocar sin que se ataquen
entre ellas, en un tablero de 8×8 ó de otro
tamaño. El gran matemático alemán Carl F. Gauss, el genio más grande de la era
moderna, se interesó por el "problema de las 8 damas" y descubrió
solamente 72. Todas estas soluciones se obtienen de 12 ubicaciones básicas, por
rotaciones y reflexiones. Probablemente, vosotros podéis encontrar alguna de
las 92 soluciones. Nosotros lo vamos a intentar poner 4 damas en un tablero 4x4
(caso sencillo); a continuación 5 damas en uno 5x5; 6 damas en uno 6x6. Y
dejamos para el final el caso 8x8.
Actividad
5: Leonard Euler, el más prolífico y gran matemático suizo del siglo pasado se planteó y
resolvió el "problema del movimiento del caballo" que dice así: andar
con el caballo por todas las casillas del tablero sin estar dos veces en
ninguna de ellas. Otro problema que ha apasionado a matemáticos y no
matemáticos, es la construcción de los cuadrados mágicos de orden n.
Pues bien, Euler logró dar una solución simultánea a ambos problemas, en donde
cada fila y cada columna suma 260, cada fila y columna de cada uno de los
cuatro subcuadrados de orden 4 sumaba 130 y tal que en este "tablero
mágico" de orden 8 se describe la ruta del movimiento del caballo por todo
el tablero. (Ver la misma al final de los apuntes en el apartado de
soluciones). Nosotros lo intentamos en un tablero
4x4; luego en otro 5x5; más tarde en uno
6x6; 7x7 y para el final el caso del tablero 8x8.
Actividad 6: Sigamos con otras
aplicaciones matemáticas. Por ejemplo:
¿Es posible que un caballo que empieza en una esquina del tablero, pase por
todas las casillas una sola vez y termine en la otra esquina? Y esta otra
pregunta: tenemos el tablero lleno de caballos, ¿es posible que se muevan todos
y terminen en una casilla diferente de la que estaban? Como siempre lo
intentamos primero en un tablero 4x4¿Y si en vez del típico tablero 8x8 tenemos
uno de 7x7?
Actividad 7:
Otros problemas relacionados:
Problema 1.
Muchos cuadrados y más rectángulos: La
siguiente cuestión es un clásico del
taller de matemáticas. ¿Cuantos cuadrados hay en el tablero de ajedrez de 8x8
casillas? Y, ¿Cuántos rectángulos de cualquier tamaño?
Problema 2. Fichas en el tablero: Se dispone de un tablero de 64 casillas, cada una de
Problema 3. El paseo de la torre: ¿Es posible que la torre
recorra todo el tablero de ajedrez pasando sólo una vez por cada casilla
partiendo de A8 y terminando en H1? ¿Y si parte de C5 y termina en H1?
Problema 4. Los catorce alfiles: En el siguiente tablero de ajedrez hemos colocado 12 alfiles,
de manera que ninguno de ellos ataca a ningún otro. ¿Podrías hacer lo mismo con
14 alfiles?
Los siguientes son para ir empezando a jugar al ajedrez:
Problema 5. Rey y caballo: Tenemos nuestro rey en un ángulo del tablero de
ajedrez; en el ángulo diagonalmente opuesto, nuestro adversario tiene un
caballo. No hay ninguna otra pieza en el tablero. El caballo es el primero en
jugar. ¿Durante cuántas jugadas podrá el rey ir eludiendo el jaque?
SOLUCIONES
Ajedrez y Psicología
AJEDREZ Y MATEMATICAS PELEADOS POR UN PRINCIPIO
Actividad 1.
El primer juego es muy sencillo: basta darse cuenta de que las dos esquinas
opuestas siempre tienen el mismo color. Dado que las fichas de dominó cubren
dos casillas (una de un color y otra del otro), quedarán
"desemparejadas" dos casillas del mismo color (y opuesto al de las
casillas tapadas originalmente en las esquinas) y, por lo tanto, siempre
tenemos posiciones imposibles de tapar por una ficha de dominó.
Actividad
2.
Problema I: K
reina, J rey, M alfil, N torre y L caballo
Problema II: M caballo, L torre, K alfil, J reina y N rey.
Problema
III: J rey, K torre, L alfil, M dama y N caballo.
Problema
IV: N: torre, M alfil, L caballo, K rey y J dama.
Problema V
(una puede ser): Rey c6; Dama d1; Torre d8; Alfil e6; y Caballo f6.
(Otra
solución: Rey e6; Alfil c6; Caballo f6; Dama f5 y Torre d4).
Problema VI:
Rey h7; Dama e8; Torre g4; Alfil c2 y Caballo c5.
Actividad 3. La
estrategia ganadora es: Dejar comenzar a tu rival y hacer siempre el movimiento
simétrico respecto al punto central del tablero (¡simetría central!). Así
siempre podrás poner ficha.
Actividad 4.
Como curiosidad diremos que en el tablero 8x8 el primero en hallar las 92 soluciones
sería el matemático ciego Franz Nanuck en 1850.
Actividad 5. Solución
de Euler:
En el siglo XIX H. C.
Warnsdorff presentó un método práctico de construir recorridos. El objetivo es
simplemente evitar crear fines de trayecto, es decir, casillas en las que el
caballo no pueda continuar, al tener que saltar a una casilla ya visitada. Por
esa razón las posibles casillas deben examinarse antes de cada salto. Se cuenta
el número de posibilidades nuevas de salto que cada una tiene y se mueve a la
que tenga el número más bajo de nuevas opciones de salto.
Aquí
damos una solución en los tableros 5x5,
6x6, 7x7 y 8x8:
En cuanto a las soluciones del problema general en un tablero
nxn se sabe que:
- Para
n = 4, el problema no tiene solución.
- Para n > 4,
n par, el problema tiene solución para cualquier casilla inicial.
- Para n > 4,
n impar, el problema tiene solución para aquellas casillas iniciales (x0,y0)
que verifiquen que x0 + y0 sea par, es decir, si el
caballo comienza su recorrido en una escaque blanco.
Actividad 6. Es
imposible que el caballo llegue hasta la otra esquina pasando por todas las
casillas. Para eso hay que darse cuenta que un caballo en su movimiento cambia
de color la casilla, y que en un tablero 8x8 hay un número par de éstas. Así,
tras 63 movimientos, el caballo debería terminar en una de color opuesto a la
que empezó. Eso es contradictorio con la hipótesis de que debe ir de una
esquina a la opuesta.
Como
acabamos de notar, un caballo va de una casilla blanca a una negra o viceversa,
por lo que en un tablero de 8x8, al haber un número par de casillas, no hay
problema y la "estampida" (que se muevan todos los caballos y
terminen en una casilla distinta) se puede hacer. Basta repetir 4 veces el
patrón que se ve en la figura para intercambiar los caballos 2 a 2.
No
obstante, en un tablero 7x7, al haber un número impar, este movimiento es
imposible (al igual que antes, si hay un número impar de casillas, hay una
casilla más de un color que del otro y, por lo tanto, un caballo no va a poder
moverse).
Actividad
7. Problema 1. En total hay 204 cuadrados:
64 de 1 casilla, 49 de 4 casillas, 36 de 9 casillas, 25 de 16 casillas, 16 de
25 casillas, 9 de 36 casillas, 4 de 49 casillas y 1 de 64 casillas. Es decir: 1
+ 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 204. Para un tablero de 6x6, la solución sería: 1 + 4 + 9 + ... + 36 = 91.
En cuanto al número de rectángulos salen 750(además de los 204 cuadrados, 224
de tamaño1xi (1< i < 9); 147 de tamaño 2xi (2 < i < 9); 90 de tamaño 3xi (3 < i < 9); 50 de
tamaño 4xi (4 < i < 9); 24 de tamaño 5xi (5 < i < 9); 9 de tamaño
6xi (6 < i < 9) y 2 de tamaño 7x8.
Problema 2. Se pueden situar 68 fichas. Hay que alternar 5 filas de ocho fichas con
4 filas de siete fichas.
Problema 3.
Se podría haber planteado de una forma más general:
En un tablero de ajedrez se señalan dos cuadros A y B. ¿Es posible pasearse
con una torre por todo el tablero comenzando en A y terminando en B? Tomamos un
tablero más pequeño, por ejemplo un tablero 2x2 con A y B en dos esquinas
diagonalmente opuestas. El paseo propuesto es imposible. Si A y
B son del mismo color, blanco por ejemplo, el paseo es imposible en el tablero
8x8. La torre va recorriendo sucesivamente blanco, negro, blanco, negro, ...
Así si el paseo terminase en blanco, el número de cuadros sería impar. En
cambio será imposible el paseo en un tablero con un número impar de cuadros si
A y B son de distinto color y también si son del mismo color si es que este
color es el más escaso en el tablero.
Problema 5. Se puede eludir el
jaque durante tanto tiempo como se quiera. Basta dirigir el rey hacia el centro
del tablero, ocupando siempre casillas de distinto color a las del caballo. El
color de las casillas ocupadas por el caballo va cambiando a cada salto, y, por
tanto, si rey y caballo ocupan colores distintos, ningún salto del caballo
pondrá al rey a su alcance. El único peligro reside en quedar encajonado en un
rincón, donde puede ser forzoso mover en diagonal, y sufrir jaque en la jugada
siguiente.
PORQUÉ DEBERÍAS JUGAR AL AJEDREZ
Julio 30/2014
El ajedrez es un juego para gente de todas las edades. Puedes aprender a jugar a cualquier edad. Y no como en otros deportes, puedes no retirarte nunca. La edad no es un factor que te impida jugar con un oponente. Pueden jugar chicos con mayores a un mismo nivel y compartir con similar interés de aprendizaje y diversión.
El ajedrez desarrolla la memoria.
La teoría del ajedrez es complicada y muchos jugadores memorizan largas variantes del juego de aperturas. También entrena el uso y recuerdo de modelos o esquemas muy necesarios para el pensamiento visual.
El ajedrez aumenta la concentración.
Durante el juego tienes un objetivo concreto en ganar piezas valiosas de tu rival, dar jaque mate y vencer a tu oponente y usas todo tu potencial mental en lograrlo.
El ajedrez desarrolla el pensamiento lógico.
El ajedrez requiere alguna comprensión que se expresa en ideas lógicas encadenadas para una estrategia. Por ejemplo, deberás conocer qué es importante para llevar rápida y armoniosamente tus piezas al principio de la partida, que deberás tener a salvo el rey durante todo el juego o saber evitar debilidades en tu posición o prever cometer errores graves y con ello, como en la vida real, tener en cuenta que debes aprender de tus errores para la siguiente oportunidad.
El ajedrez desarrolla la imaginación y la creatividad.
Te propone ser novedoso e inventivo para mejorar siempre el nivel de tu juego: Existen miles de combinaciones que aun no han sido jugadas.
El ajedrez te enseña a ser independiente.
Estás forzado a tomar importantes decisiones sólo influenciadas por tu propio juicio. Eres tú mismo el que decide cada jugada y eso te enseña a crear tu criterio.
El ajedrez desarrolla la capacidad de predecir y proyectar hacia el futuro las consecuencias de las acciones.
Te enseña a explorar todas las posibilidades para descubrir lo oculto, lo que puede tener el mejor efecto después de unas jugadas y entonces aprendes a proyectar un plan con una idea de futuro.
El ajedrez inspira a la motivación personal.
Te impulsa a buscar la mejor posibilidad, el mejor plan, la más bella continuación entre un sinfín de posibilidades. Fomenta el permanente objetivo de éxito para encender la llama de la victoria.
El ajedrez te muestra que el éxito premia al intenso trabajo.
Cuanto más practicas y estudias, más mejoras tu rendimiento. Deberías estar preparado para perder y aprender de tus errores. Uno de los más grandes maestros, el capeón mundial José Capablanca, de Cuba, dijo: “Se aprende más de las partidas perdidas que de las ganadas. Hay que perder cientos de partidas, antes de convertirse en gran jugador”
El ajedrez y la Ciencia.
El ajedrez desarrolla el pensamiento científico. En el juego generas numerosas variantes en tu mente. Exploras e investigas nuevas ideas, tratas de prever lo que sucederá e interpretas sorprendentes revelaciones. Decides sobre hipótesis y haces tu jugada, como una apuesta que luego compruebas su validez
Ajedrez y Matemáticas.
No necesitas ser un genio para comprender esto. El ajedrez tiene un infinito número de cálculos en un ataque o una defensa en un simple intercambio de jugadas. Calculas con tu propia cabeza y no con una máquina y te agiliza las operaciones que haces en matemáticas del mismo modo.
Ajedrez e Investigación.
Hay millones de recursos ajedrecísticos para cada aspecto de la partida. Puedes reunir todo en un gran archivo de ajedrez. En la vida, es importante saber cómo encontrar, organizar y usar esa ilimitada cantidad de información. El ajedrez te da un ejemplo perfecto de ello.
Ajedrez y arte.
En la gran enciclopedia rusa, el ajedrez se define así: "un arte que aparece en forma de juego." Si piensas que nunca podrías ser un artista, el ajedrez te demuestra que estás equivocado. Te permite sacar al artista que tienes dentro de ti Transcurriendo la práctica tendrás un original estilo y personalidad, como todo artista.
Ajedrez y Psicología
El ajedrez es una prueba de paciencia, nervios, poder mental y concentración. Agranda tu habilidad de tratar con otra gente y enseña comportamientos sociales frente a tus oponentes.
El ajedrez y la tecnología.
¿Qué hacen los jugadores durante una partida? Sencillamente lo mismo que hacen las computadoras: se empeñan en la búsqueda de la mejor respuesta en un tiempo limitado. ¿Qué haces tú con tu PC? Usas la máquina como una herramienta de aprendizaje porque te enseña a procesar la información.
El Ajedrez perfecciona la tarea en la escuela.
Numerosos estudios han probado que los chicos obtienen un alto nivel de lectura, mejoras en matemáticas y una gran comprensión generada por el ajedrez y por estas y otras razones se considera importante para el éxito del alumno desarrollarse con el ajedrez.
El ajedrez te abre el mundo.
No necesitas ser un gran jugador para participar en competencias. Niños, jóvenes y personas mayores pueden intervenir hasta en los principales abiertos del mundo sin importar el nivel que tengan. El ajedrez te permite viajar por todo el mundo y tiene un idioma universal y te puedes comunicar con todo el mundo, por ejemplo por Internet y así te conectas con gente interesante con amigos que duran toda la vida.
El ajedrez es barato
Para jugarlo no necesitas costosos elementos ni equipamientos o vestimentas especiales. Y si no tienes un simple juego en casa o en lo de un amigo, con un ordenador e internet juegas con el mejor nivel. Y tienes amigos de todo el mundo.
El Ajedrez es divertido.
Nunca hay un juego que se repita, lo que significa que en cada uno esté presente tu idea nueva. No es monótono. Eso hace que nunca sea aburrido.
AJEDREZ Y MATEMATICAS PELEADOS POR UN PRINCIPIO
Quedé realmente intrigado ¿Cómo puede siendo el tablero infinito, quedarle debiendo 1 grano al rey? Y sin embargo todo está bien planteado (a mi parecer). Estos infinitos y sus paradojas me vuelven loco ¡Me duele la cabeza León!
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